Βασίλειος Γκίκας Ακαδημαϊκός
Ο Πρόκλος ο Λύκιος, αποκαλούμενος και Πρόκλος ο Διάδοχος (Κωνσταντινούπολη, 8 Φεβρουαρίου 412 μ.χ – Αθήνα, 17 Απριλίου 485 μ.χ) ήταν Νεοπλατωνικός Φιλόσοφος, ένας από τους τελευταίους, σημαντικότερους Κλασικούς Φιλοσόφους, ήταν από τους τελευταίους μεγάλους Διανοητές της Νεοπλατωνικής Φιλοσοφίας και του Αρχαιοελληνικού Φιλοσοφικού Στοχασμού εν γένει. Σπούδασε στα καλύτερα Εκπαιδευτικά Κέντρα της εποχής του: Αλεξάνδρεια, Κωνσταντινούπολη κι Αθήνα. Εκεί ήρθε σ’ επαφή με την Αθηναϊκή Νεοπλατωνική Ακαδημία, η οποία τον κατέκτησε οριστικά και της οποίας έγινε Διευθυντής μετά τον θάνατο του Διδασκάλου του Συριανού.
Πέθανε στην Αθήνα στις 17 Απριλίου του 485 μ.Χ. κι ετάφη κοντά στον Λυκαβηττό. Πρότεινε ένα από τα πιο ανεπτυγμένα Συστήματα του Νεοπλατωνισμού κι επηρέασε σημαντικά τη Δυτική Φιλοσοφία και την Ισλαμική Σχολή Σκέψης. Από το 450 μέχρι τον θάνατό του διηύθυνε την Ακαδημία Πλάτωνος. Τελευταίος Σχολάρχης της Πλατωνικής Ακαδημίας κι αυθεντικός εκφραστής του Παγανιστικού Νεοπλατωνισμού, παρέσχε στον Στοχασμό του Μεσαίωνα και της Αναγέννησης το Πρότυπο μίας Χριστιανικής και μίας καθαρά Φιλοσοφικής Διανόησης. Η προσφορά του στην διαμόρφωση της Νεώτερης Φιλοσοφίας υπήρξε ανεκτίμητη και πολλαχώς υποτιμημένη.
Μονάχα από τα μέσα του 19ου αιώνα άρχισε να επανεκτιμάται. Σε αυτό συνετέλεσαν κι οι έξοχες επανεκδόσεις των έργων του. Μαθηματικός και Φιλόσοφος ο Πρόκλος συνόψισε τις Νεοπλατωνικές Θέσεις στο ευκλειδείου εμπνεύσεως θεμελιώδες έργο του “Στοιχείωσις Θεολογική”. Στο επιστέγασμα της Θεολογικής Θεώρησης του Πρόκλου, ενός από τους κορυφαίους του Νεοπλατωνισμού, εξετάζονται οι Γενικές Σκέψεις του Πλάτωνα γιά τους Θεούς και το βαθύτερο νόημά τους. Ζώντας σε μια εποχή Συγκρητιστικού Χάους, σύνθεσε σ’ ένα ενιαίο και πολύπλοκο Σύστημα ολόκληρη την προγενέστερή του Νεοπλατωνική Φιλοσοφική Παράδοση, επηρεασμένη από στοιχεία Πυθαγορικά, Αριστοτελικά και Στωικά.
Στο Σύστημά του συνένωσε τον έναν Θεό, τις νοητές και τις νοητικές Υποστάσεις, τη Μαγεία και διάφορα Όντα δαιμονικού χαρακτήρα και με αυτή τη μορφή το παράδωσε στον Σχολαστικό Μεσαίωνα. Το έργο του αποτελεί βασική πηγή για κάθε Μελετητή της Νεοπλατωνικής Φιλοσοφίας και του ίδιου του Πλάτωνα, του οποίου συχνά προτείνει πρωτότυπες κι εξαιρετικά ενδιαφέρουσες ερμηνείες.
Στην Παλατινή Ανθολογία [Η Παλατινή Ανθολογία (Anthologia Palatina) είναι Συλλογή Αρχαίων και Βυζαντινών Ελληνικών Επιγραμμάτων της περιόδου από τον 7ο αιώνα π.Χ. μέχρι το 600 μ.Χ., που βρέθηκε σε χειρόγραφο το 1606 και θεωρείται ότι συντάχθηκε τον 10ο αιώνα με βάση την Ανθολογία του Κεφαλά. Μαζί με την Ανθολογία του Πλανούδη απαρτίζει τη συμβατικά ονομαζόμενη Ελληνική Ανθολογία] σώζεται το επίγραμμα του τάφου του: Πρόκλος ἐγὼ γενόμην Λύκιος γένος, ὃν Συριανὸς ἐνθάδ’ ἀμοιβὸν ἐῆς θρέψε διδασκαλίης. Ξυνὸς δ’ ἀμφοτέρων ὅδε σώματα δέξατο τύμβος· αἴθε δὲ καὶ ψυχὰς χῶρος ἕεις λελάχοι: ο Πρόκλος, εγώ που γεννήθηκα με καταγωγή από τη Λυκία, τον οποίο ο Συριανός εδώ ανέθρεψε με τη διδασκαλία του ως Διάδοχό του και των δυο τα σώματα δέχτηκε αυτός ο τάφος, είθε δε και οι ψυχές να βρεθούν στον ίδιο χώρο.
Ο Συριανός (Βυζαντινός Στρατηγός και Κατεπάνω της Ιταλίας από το 1062 έως το 1064. Διορίστηκε από τον Αυτοκράτορα Κωνσταντίνο Ι΄ Δούκα, τον τελευταίο Βυζαντινό Αυτοκράτορα που έδειξε ενδιαφέρον γιά την ανάκτηση των Ιταλικών εδαφών) ήταν ο Διδάσκαλός του και Διευθυντής της Ακαδημίας του Πλάτωνα. Ο Πρόκλος ανέλαβε τη Διεύθυνση της Ακαδημίας μετά τον Συριανό.
Ο πατέρας του Πρόκλου ήταν Πατρίκιος. Η καταγωγή του ήταν από τη Λυκία. Ο Πρόκλος γεννήθηκε στην Κωνσταντινούπολη στις 6 Φεβρουαρίου 412, όπως προκύπτει από ωροσκόπιο που γράφτηκε από τον Μαθητή του Μαρίνο το Νεαπολίτη, αλλά μεγάλωσε στην Ξάνθο [(Arñna, Λατινικά: Xanthus, Τούρκικα: Ksantos) ήταν πόλη της Αρχαίας Λυκίας. Βρισκόταν στην περιοχή της σημερινής πόλης Κινίκ, στην Τουρκική Επαρχία Αττάλειας, πλησίον του ποταμού στον οποίο βρίσκεται σήμερα η πόλη. Κατά τις αρχαίες πηγές το όνομα Ξάνθος χρησιμοποιήθηκε ως συνώνυμο της Λυκίας στο σύνολό της].Σπούδασε στην Αλεξάνδρεια Ρητορική, Φιλοσοφία και Μαθηματικά με την πρόθεση ν’ ακολουθήσει δικαστική σταδιοδρομία όπως ο πατέρας του.
Επέστρεψε στην Κωνσταντινούπολη πριν ολοκληρώσει τις Σπουδές του. Εκεί άρχισε να εργάζεται ως Δικηγόρος, αλλά ανακάλυψε ότι προτιμά τη Φιλοσοφία κι επέστρεψε στην Αλεξάνδρεια, όπου άρχισε να μελετά τον Αριστοτέλη με Διδάσκαλό του τον Περιπατητικό Φιλόσοφο του 5ου αιώνα Ολυμπιόδωρο τον Πρεσβύτερο.
Το κύριο Μαθηματικό έργο του Πρόκλου είναι τα “Σχόλια στο 1ο Βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη”. Εκεί, πέραν των εκτεταμένων σχολίων (700 σελίδες περίπου), παραθέτει στην εισαγωγή ένα Ιστορικό Σημείωμα των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών. Ξεκινώντας από την εποχή του Θαλή φτάνει μέχρι την εποχή του Ευκλείδη, διατρέχοντας μία χρονική περίοδο περίπου 300 ετών κι αναφέρει 24 Γεωμέτρες και τη συμβολή κάθε ενός στη Γεωμετρία. Αυτό είναι το πληρέστερο Ιστορικό Σημείωμα που σώζεται και τα στοιχεία του έχουν αντληθεί από την “Ιστορία της Γεωμετρίας” του Ευδήμου του Ρόδιου. Ο Θαλής πρώτος πήγε στην Αίγυπτο κι έφερε αυτή τη Θεωρία (Γεωμετρία) στην Ελλάδα κι αυτός βρήκε πολλά. Πολλές από τις Αρχές της εισηγήθηκαν από αυτόν, άλλες μεν τις επέβαλλε (δικαιολόγησε) Αυστηρά, άλλες δε Αισθητικά.
Μετά από αυτόν ο Μάμερκος ή Μαμέρτιος, αδελφός του Ποιητή Στησιχόρου, ο οποίος μνημονεύεται γιά τη σπουδή της Γεωμετρίας κι αναφέρεται ο Ιππίας ο Ηλείος που δοξάστηκε από τη Γεωμετρία [Σοφιστής των χρόνων του Σωκράτη, σύγχρονος του Πρωταγόρα (5ος π.Χ. αι.). Δίδαξε στην Αθήνα. Έργα του, “Τρωικός λόγος”, “Ολυμπιονικών αναγραφή” κ’ “Εθνών ονομασίες”. Σημαντικές πληροφορίες για τον Ιππία παρέχονται από τους Διαλόγους του Πλάτωνα “Ιππίας μείζων” κ’ “Ιππίας ελάσσων”. Η αυθεντικότητα του δεύτερου έργου αμφισβητείται.
Ο Ιππίας ασχολήθηκε επίσης με τα Μαθηματικά Ο Πρόκλος αναφέρει στα “Σχόλια στο 1ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη” ότι ο Ιππίας ασχολήθηκε με τη Γεωμετρία και δοξάστηκε από αυτή. Στον Ιππία αποδίδεται η λύση της διαίρεσης μίας γωνίας σε αυθαίρετο αριθμό ίσων μεταξύ τους γωνιών. Το γενικό αυτό Πρόβλημα έχει τη ρίζα του σε ένα πιo συγκεκριμένο, αυτό της τριχοτόμησης μίας γωνίας. H διχοτόμηση μίας γωνίας είχε στην Αρχαιότητα γνωστή Γεωμετρική Λύση με γνώμονα και διαβήτη, πλην όμως η τριχοτόμηση της όχι.
Ο Σοφιστής Ιππίας έδειξε πως το Πρόβλημα μπορεί να λυθεί με τη χρήση μίας καμπύλης γραμμής, της τετραγωνίζουσας, που φέρει το όνομα του Ιππία (και του Δεινοστράτου επίσης). Μέσω της τετραγωνίζουσας, μπορεί να τετραγωνιστεί κι ο κύκλος.
Οι σύγχρονοι του Ιππία συγκαταλέγουν τη λύση μαζί με άλλες Σοφιστείες, αφού χρησιμοποιεί ένα τέχνασμα, μέσω μίας μηχανικής κατασκευής, προκειμένου να λύσει ένα Γεωμετρικό Πρόβλημα, στο οποίο αρμόζει λύση με γεωμετρικά όργανα: γνώμονα και διαβήτη κι όχι μηχανικά τεχνάσματα).Η τετραγωνίζουσα είναι μία καμπύλη η οποία μπορεί να διαγραφεί χρησιμοποιώντας το συνδυασμό δύο ανεξάρτητων μεταξύ τους κινήσεων: της ομαλής κυκλικής και της ευθύγραμμης ομαλής.
Η μηχανική κατασκευή συνίσταται σ’ έναν γνώμονα ο οποίος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από την κάτω γωνία ενός πίνακα, ο περιστρεφόμενος γνώμονας αναπαριστά την κυκλική κίνηση. Στον πίνακα προστίθεται ένας άλλος, οριζόντιος γνώμονας, ο οποίος μπορεί να κινείται κατακόρυφα και που αναπαριστά την ευθύγραμμη μεταφορική κίνηση. Η τομή των δύο ευθειών διαγράφει την τετραγωνίζουσα καμπύλη στον πίνακα, μέσω της ταυτόχρονης κίνησης των δύο γνωμόνων. Μέσω της τετραγωνίζουσας, μπορεί να χωριστεί μια οποιαδήποτε γωνία, σε οσοδήποτε πεπερασμένα μέρη επιθυμεί ο Χρήστης, εντός των ορίων που επιβάλλονται πρακτικά. Μπορεί επίσης να τετραγωνιστεί κι ο κύκλος].
Μετά από αυτούς ο Πυθαγόρας ο οποίος με τη Φιλοσοφία του ανύψωσε τη Γεωμετρία σ’ Ελεύθερη Επιστήμη, διότι θεώρησε τις Αρχές της από πάνω προς κάτω κι όχι με βάση τα Υλικά Αντικείμενα και τα Θεωρήματα τα διερεύνησε όπως έπρεπε, την Πραγματεία των Ασύμμετρων Μεγεθών και βρήκε τη σύσταση των Κοσμικών Σχημάτων, τα Πλατωνικά Στερεά, λέγονται τα κυρτά κανονικά πολύεδρα, των οποίων όλες οι έδρες είναι ίσα κανονικά πολύγωνα κι όλες οι πολυεδρικές γωνίες του είναι ίσες. Επομένως, όλες οι ακμές τους είναι ίσα ευθύγραμμα τμήματα, καθώς επίσης κι όλες οι επίπεδες γωνίες των εδρών τους είναι ίσες. Υπάρχουν μόνο πέντε τέτοια πολύεδρα: το τετράεδρο, ο κύβος ή κανονικό εξάεδρο, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο.
Τα Πλατωνικά Στερεά ονομάστηκαν έτσι επειδή μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Στη Φιλοσοφία του Πλάτωνα, αυτά τα Στερεά συμβόλιζαν τα Δομικά Στοιχεία του Σύμπαντος: το τετράεδρο τη φωτιά, ο κύβος τη Γη, το εικοσάεδρο το νερό, το οκτάεδρο τον αέρα και το δωδεκάεδρο τον αιθέρα (ή αλλιώς τον Κόσμο, στα Λατινικά quinta essentia: Πέμπτη Ουσία. Ο Ευκλείδης ασχολείται με αυτά στο 13ο βιβλίο των Στοιχείων του, όπου αποδεικνύει ότι υπάρχουν ακριβώς 5 κυρτά κανονικά πολύεδρα κι εκφράζεται η ακμή τους ως συνάρτηση της περιγεγραμμένης σφαίρας, οι ακμές των 5 κανονικών Στερεών συναρτήσει της ακτίνας της περιγεγραμμένης σφαίρας κι αποδεικνύεται ότι τα Κανονικά Στερεά είναι μόνο αυτά τα πέντε. Σε κάθε Πλατωνικό Στερεό όλες οι κορυφές του ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο το κέντρο του πολυέδρου κι η οποία περνά από όλες τις κορυφές του πολυέδρου (Περιγεγραμμένη Σφαίρα).
Το ίδιο ισχύει και για τις έδρες, δηλαδή ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο το κέντρο του πολυέδρου κι η οποία εφάπτεται όλων των εδρών, στα κέντρα τους (Εγγεγραμμένη Σφαίρα). Επίσης όλες οι ακμές ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο το κέντρο του πολυέδρου κι η οποία εφάπτεται όλων των ακμών, στα μέσα τους. Δυϊσμός – Συμμετρίες: αν σ’ ένα Πλατωνικό Στερεό λάβουμε τα κέντρα των εδρών του ως κορυφές ενός άλλου πολυέδρου, το δεύτερο αυτό πολύεδρο είναι επίσης Πλατωνικό Στερεό. Τα δύο αυτά πολύεδρα ονομάζονται Δυϊκά Πολύεδρα ή Συζυγή Πολύεδρα. Επομένως, το πλήθος των εδρών του πρώτου ισούται με το πλήθος των κορυφών του δεύτερου και το αντίστροφο.
Το πλήθος των ακμών τους παραμένει ίδιο. Εάν το Σύμβολο Schläfli του ενός πολυέδρου είναι {ν, μ}, τότε το σύμβολο Schläfli του Δυϊκού του θα είναι {μ, ν}. Έτσι, τα Πλατωνικά Στερεά είναι Δυϊκά ανά ζεύγη: ο κύβος με το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο με το εικοσάεδρο και το τετράεδρο με τον εαυτό του. Τα Δυϊκά Πολύεδρα μοιράζονται την ίδια Ομάδα Συμμετρίας: το τετράεδρο ανήκει στην Τετραεδρική Ομάδα Συμμετρίας, το οκτάεδρο κι ο κύβος ανήκουν στην Οκταεδρική Ομάδα Συμμετρίας, το εικοσάεδρο και το δωδεκάεδρο ανήκουν στην Εικοσαεδρική Ομάδα Συμμετρίας.
Μετά από αυτόν ο Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος ( ~500 – 428 π.Χ., Αρχαίος Έλληνας Φιλόσοφος κι Αστρονόμος. Γεννήθηκε στις Κλαζομενές της Ιωνίας περίπου το 500 π.Χ. Ήταν γιος του Ηγησίβουλου ή Εύβουλου κι ανήκε σε πλούσιο κι αριστοκρατικό Γένος. Σε ηλικία 20 ετών εγκαταστάθηκε στην Αθήνα, επιδιδόμενος σε Φιλοσοφικές Σπουδές, όπου κι έζησε εκεί επί 30 χρόνια. Σύμφωνα με την Παράδοση κατηγορήθηκε γι’ Ασέβεια κι αναγκάστηκε να εγκαταλείψει την πόλη.
Γενικά ο Αναξαγόρας προσπάθησε ν’ ανανεώσει την Ιωνική Φυσιολογία και να τη συνδυάσει με τις πνευματικές κατακτήσεις του Παρμενίδη και του Εμπεδοκλή) ασχολήθηκε πολύ με τη Γεωμετρία κι ο Οινοπίδης ο Χίος [Γεωμέτρης κι Αστρονόμος, που άκμασε περί το 450 π.Χ. Γεννήθηκε λίγο μετά το 500 π.Χ. στη Χίο κι ήταν από τους κύριους Εκπροσώπους της Σχολής της Χίου [ήταν μία Μαθηματική Σχολή που ιδρύθηκε στις αρχές του 5ου αιώνα και διαδέχθηκε τη Σχολή των Πυθαγορείων.
Ο επιφανέστερος Εκπρόσωπος της Σχολής ήταν ο Ιπποκράτης ο Χίος (~470 – 400 π.Χ.), που ήκμασε γύρω στο 440 π.Χ. Διδάσκαλος του ήταν ο Οινοπίδης ο Χίος, που ήταν μία Γενιά μεγαλύτερος. Επίσης κατά πάσα πιθανότητα ο Αναξαγόρας (500 – 428 π.Χ.) ήταν Μέλος της Σχολής.
Η Σχολή έδυσε και τα ίχνη της χάνονται λίγο μετά το μέσον του 5ου αιώνα κι ενώ λαμβάνει χώρα μια ακμάζουσα Γεωμετρική Παράδοση, όπου κεντρική θέση κατέχουν τα τρία Άλυτα Προβλήματα της Αρχαιότητας, ο Διπλασιασμός του κύβου ή Δήλιο Πρόβλημα, η Τριχοτόμηση γωνίας κι ο Τετραγωνισμός του Κύκλου.
Ο Αναξαγόρας ασχολήθηκε με τη Γεωμετρία κι αναφέρεται ως ο πρώτος που ασχολήθηκε με το Πρόβλημα του Τετραγωνισμού του Κύκλου. Ο Οινοπίδης, σύμφωνα με τον Πρόκλο, ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά και δοξάστηκε από αυτά, επίσης, εισηγήθηκε την Επιταγή του κανόνα και διαβήτη για τις Γεωμετρικές Κατασκευές. Ο Ιπποκράτης αναφέρεται ως ο πρώτος που ανήγαγε το Πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου στο ισοδύναμό του, της παρεμβολής δύο μέσων αναλόγων μεταξύ δύο ευθυγράμμων τμημάτων α και β=2α, έτσι ώστε να ισχύουν οι συνεχείς αναλογίες α/x=x/y=y/2α.
Επίσης ο Ιπποκράτης τετραγώνισε μηνίσκους, σύμφωνα με τον Σιμπλίκιο (4ος μ.Χ. αιώνας), σε κείμενο που μας διασώζει. Η ακμή της Σχολής της Χίου δεν είχε μεγάλη διάρκεια και το Επιστημονικό Κέντρο λίγο μετά το μέσον του 5ου π.Χ. αιώνα μετατοπίστηκε στην Αθήνα.
Οι τρεις παραπάνω κύριοι Εκπρόσωποι της Σχολής της Χίου εγκαταστάθηκαν στην Αθήνα και συνέχισαν το μαθηματικό τους έργο], αλλά σταδιοδρόμησε κυρίως στην Αθήνα. Το σημαντικότερο αστρονομικό επίτευγμα του Οινοπίδη ήταν ο πρώτος προσδιορισμός της γωνίας που είναι γνωστή ως λόξωση της εκλειπτικής, δηλαδή της γωνίας ανάμεσα στον Ουράνιο Ισημερινό και στην εκλειπτική (τη φαινομενική ετήσια τροχιά του Ήλιου στον Γήινο ουρανό). Βρήκε ότι η γωνία αυτή ήταν ίση με 24°. Η τιμή αυτή παρέμεινε η κοινώς αποδεκτή επί δύο αιώνες, μέχρι που ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος [(Κυρήνη της σημερινής Λιβύης, 276 π.Χ. – Αλεξάνδρεια 194 π.Χ.), Αρχαίος Έλληνας Μαθηματικός, Γεωγράφος, Αστρονόμος, Γεωδαίτης, Ιστορικός και Φιλόλογος. Θεωρείται ο πρώτος που υπολόγισε το μέγεθος της Γης και κατασκεύασε ένα Σύστημα Συντεταγμένων με παράλληλους και μεσημβρινούς, κατασκεύασε κι έναν Χάρτη του Κόσμου όπως τον θεωρούσε] μέτρησε τη γωνία αυτή με μεγαλύτερη ακρίβεια.
Ο Οινοπίδης επίσης υπολόγισε τη διάρκεια του Μεγάλου Έτους: του μικρότερου χρονικού διαστήματος που ισούται με ακέραιο αριθμό Αστρικών Ετών και ταυτόχρονα με ακέραιο αριθμό Συνοδικών Μηνών. Καθώς οι σχετικές θέσεις Ηλίου και Σελήνης επαναλαμβάνονται μετά από ένα Μέγα Έτος, αυτό σχετίζεται με την πρόβλεψη των εκλείψεων. Αυτό είναι μόνο προσεγγιστικά σωστό, καθώς ο λόγος του μήκους του έτους προς το μήκος του συνοδικού μήνα δεν είναι Ρητός Αριθμός ώστε να υπάρχει ακριβές Μέγα Έτος. Εξάλλου, η τροχιά της Σελήνης παρουσιάζει συνεχώς μικροδιαφορές.
Ο Οινοπίδης υπολόγισε το Μέγα Έτος σε 59 χρόνια ή 730 συνοδικούς μήνες. Αυτή είναι πολύ καλή προσέγγιση, αλλά όχι ακριβής τιμή: 59 Αστρικά Έτη περιέχουν 21.550,1 ημέρες, ενώ 730 Συνοδικοί Μήνες περιέχουν 21.557,3 ημέρες. Ωστόσο, μία περίοδος 59 ετών είχε το πλεονέκτημα ότι αντιστοιχούσε αρκετά καλά με ακέραιους αριθμούς περιόδων περιφοράς αρκετών Πλανητών γύρω από τον Ήλιο, οπότε κι οι δικές τους σχετικές θέσεις επαναλαμβάνονταν μετά από ένα Μέγα Έτος.
Πρακτικότερη πάντως και γνωστότερη στην Αρχαία Ελλάδα ήταν η Τιμή που βρήκαν το 432 π.Χ. ο Μέτων ο Αθηναίος και ο Ευκτήμων, ο Κύκλος του Μέτωνος των 18 ετών ή 223 Συνοδικών Μηνών (Περίοδος Σάρος). Ενώ οι αστρονομικές συνεισφορές του Οινοπίδη αφορούν κυρίως πρακτικά θέματα, αντιθέτως ως Γεωμέτρης υπήρξε Θεωρητικός και Μεθοδολόγος, που είχε θέσει ως στόχο υψηλότερα πρότυπα Θεωρητικής Καθαρότητας γιά τη Γεωμετρία: Εισήγαγε τη διάκριση ανάμεσα σε Θεωρήματα και Προβλήματα, με την έννοια ότι Θεώρημα είναι ένας Θεωρητικός Δομικός Λίθος που πρέπει να χρησιμεύει ως το θεμέλιο για παραπέρα ανάπτυξη της Θεωρίας, ενώ ένα Πρόβλημα είναι μία Γεωμετρική Κατασκευή, συνήθως χωρίς παραπέρα ανάπτυξη.
Ο Οινοπίδης θέσπισε και τον Κανόνα ότι οι Γεωμετρικές Κατασκευές πρέπει να μην χρησιμοποιούν άλλα μέσα εκτός από τον κανόνα και τον διαβήτη. Το όνομά του συνδέθηκε με δύο συγκεκριμένες στοιχειώδεις γεωμετρικές κατασκευές: 1) ν’ αχθεί από δεδομένο σημείο ευθεία γραμμή κάθετη προς άλλη, δεδομένη, ευθεία. & 2) Σε δοσμένο σημείο δοσμένης ευθείας γραμμής να κατασκευασθεί ορθή γωνία. Τις πληροφορίες για τη συνεισφορά του Οινοπίδη στη Γεωμετρία μας τις παρέχει ο Πρόκλος στο έργο του “Σχόλια” στο Ι βιβλίο των Στοιχείων.
Λίγο νεώτεροι του Λεωδάμαντα ήταν ο Νεοκλείδης κι ο Μαθητής του Λέων, οι οποίοι έδωσαν στην Γεωμετρία πολλά κι ο Λέοντας συνέθεσε Στοιχεία μεγάλα στο πλήθος και με μεγάλη επιμέλεια και Διορισμούς (Συνθήκες) βρήκε γιά το πότε ένα Πρόβλημα είναι δυνατό να επιλυθεί και πότε είναι αδύνατο.
Ο Εύδοξος ο Κνίδιος, λίγο νεώτερος από τον Λέοντα, έγινε και Συνεργάτης του Πλάτωνα, αύξησε πολύ το πλήθος των Θεωρημάτων και στις τρεις υπάρχουσες αναλογίες προσέθεσε άλλες τρεις κι αυτά τα Θεωρήματα που πήρε από τον Πλάτωνα γιά την τομή των ευθειών αύξησε στο πλήθος και χρησιμοποίησε και την Αναλυτική Μέθοδο.
Περισσότερο, πολλά άλλα στοιχεία βρήκε και για τους Γεωμετρικούς Τόπους έγραψε πολλά. Ο Φίλιππος ο Μενδαίος, Μαθητής όντας του Πλάτωνος, προτράπηκε από αυτόν ν’ ασχοληθεί με τα Μαθηματικά, έκανε τις Έρευνές του σύμφωνα με τις Οδηγίες του Πλάτωνα και κατά την Πλατωνική Φιλοσοφία. Όσοι έγραψαν την Ιστορία μέχρι αυτόν, αναγράφουν την τελειοποίηση αυτής της Επιστήμης.
